微分法

関数f(x)において、xがaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき、
f(x)が一定の値bに限りなく近づくならば、
bをxがaに近づくときのf(x)の極限値という。
…limの表記は各自で確認すること。表すのめんどい。

不定形の極限の場合、因数分解の後約分して、その後に数値を代入して求める。

極限値存在のための必要条件
分母の極限値が0のときに極限値を一定にするためには、
分子の極限値も0にならなくてはならない。
…問題になるのは不定形だろうから、それを約分したい、という意図の下に
両方の極限値が0に近づいていくわけで。

平均変化率
( f(a+h) - f(a) ) / h
　→関数f(x)の x =a から x =a+h までの平均変化率という。
上の式を h→0とすると、関数f(x)の x =aにおける微分係数がでる。
まあ今こんなことを求めろは言われないと思う。うん。
この方法じゃなく後述の導関数を出してからaを代入するのが一番かと。

5ページの例題は見直しとく価値はあると思う。めんどいから載せないけど。

導関数
今やってるf'(x)のことを導関数という。
xのところにどんな値を代入しても求められるようなやつ。
定義に従う場合は微分係数のaをxに変えましょう。
きっとそんな問題はでないから公式だけ覚えておこう。

公式
今更これが分からない人はいないと信じているよ僕はとても。
例　y = x^3 + 2x^2 - 6x + 7　を微分せよ。
　　y'= 3x^2 + 4x - 6となる。なるよね。覚えてるよねさすがに。

( f(x)g(x) )' = f(x)'g(x) + f(x)g(x)'
上のを応用するとこんな式が出来るよ。
y =( f(x) )^n のとき y'= n*( f(x) )^(n-1) * f'(x)





接線の方程式
接線の傾きは微分係数に等しいため、
y =f(x)上の点 ( a,f(a) )における接点の方程式は、
y =f'(a)(x-a) + f(a)となる。
法線は接線に垂直な線のことですよ。
ついでに接点が分からないときは文字で置いて解きましょう。
曲線が接するのは重解を持つときだよ。

奇関数とか偶関数とかきっとでないから飛ばす。

関数の増減
導関数を因数分解して増減表を書く。
それから増加区間、減少区間、極大値、極小値を表す。
グラフを書くときも増減表は大事だよ。ちゃんと書こうね。
極値というのは増加から減少に変わる点もしくはその逆。
最大値、最小値を求めるときは範囲の端に注意しましょう。

方程式、不等式への応用
f(x)=0の実数解の個数を出したいのなら、グラフとx軸の交点の数を数えればいい。
解一つ→単調増加、単調減少、二つの極値の符号が同じ
解二つ→二つの極値のうちどちらかが0
解三つ→二つの極値の符号が違う
となってるよ。

後は定数分離とかあったよね。覚えてなくても解けるけど。