行列

行が横で列が縦。
漢字的にそうだよねって言ってた。
行列には型があります。一般的にm行n列とかm×n行列とか表す。
m=nのときはm行正方行列とか言うよ。
mが1だと列ベクトル、nが1だと行ベクトル。
(a,b)成分を答えろとか言われたらa行b列の数を答えればいい。

行列の足し算、引き算
行列の型が同じじゃないと定義されません。
それぞれ同じ場所にあるやつを足したり引いたりします。
スカラーの場合と同じだね。
以上。

行列の掛け算
どこが一緒だったらいいんだっけ。
掛けられる方の行と掛ける方の列の数、だっけ?
逆かもしれないから後で調べとく。
行列の掛け算には交換法則は成り立ちません。AB≠BAです。
これが成り立つものを可換であるといいます。

どんなものとかけても可換となる行列の例。
→その行列自身、零行列、単位行列、スカラー行列
　　零行列　　　…名前からわかるとおり全て0の行列。
　　　　　　　　　スカラーの0掛けるようなものだね。
　　単位行列　　…m行m列が全て1で、それ以外が全て0のもの。
　　　　　　　　　この場合はスカラーの1掛けるようなもの。
　　スカラー行列…m行m列が全て同じ数でそれ以外が全て0のもの。
　　　　　　　　　これは「同じ数」で使われたスカラーを掛ける。

また、行列の掛け算には分配法則や結合法則が成り立ちます。
でも交換法則が成り立たないことを頭に入れておかないと痛い目を見ます。

けーりーはみるとん。
二次の正方行列Aにおいて、A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0が成立する。
どこがaとかはさすがに覚えてるだろうしめんどいから書かない。
けーりーはみるとんのてーりでしか二次式が書けないわけではありませんよ、と。
なのでa+d=0になるときとそうでないときで場合分けをしなくてはならないのです。
そして係数比較はできないのです。



逆行列。
AA^(-1)=A^(-1)A=EとなるようなA^(-1)を逆行列というのです。
Aが二次の正方行列だった場合、
Aが逆行列を持つ条件は行列式（ad-bc）が0ではないこと。
Aが(a,b,c,d)（察してください）となってるとき、
A^(-1)＝1/(ad-bc)(d,-b,-c,a)となる。…分かって（苦笑）
たとえばこれ使えば方程式とか解けるよね、と。

問題解くときの指針。
二次の正方行列とか書いてあれば置けるし行列式も使えるよね。
そうじゃないときは置けないし行列式も使えないよね。
そういうときの逆行列云々はかけて単位行列にする方法をとること。

知識として。
零因子は逆行列を持たない。当たり前だが対偶も正。んで逆と裏は偽。
証明方法として背理法。

逆行列を持つ行列　　→行列式が0ではない、AB=BA=EとなるEが存在する
逆行列を持たない行列→行列式が0、零因子

固有値と固有ベクトル。
とりあえず固有ベクトルは列ベクトルだよということを確認。
ある行列A×固有ベクトル＝スカラーt（固有値）×固有ベクトルになるようなもの。
固有ベクトルは零ベクトルにならないので（A-tE）は逆行列を持ちません。
つまり行列式が0。あとなんだっけ。
固有方程式なるものが存在するよ。
Aが二次の正方行列の場合、t^2-(a+d)t+ad-bc=0を解けば固有値が求まる。
けど覚える必要はないってさ。